代数

解方程是古代代数的核心问题。

在分析客观世界的数量关系时（例如鸡兔同笼问题），用字母表示未知量（代数的字面意思），并通过等量关系（数值相等）列出方程（运算）。随后，利用运算律和等量公理（自反性、对称性、传递性、替换性）求解方程。

脱离解方程的目的，如果从更抽象、更全局的角度来看研究对象，涉及以下几个关键要素：

• 集合：数量取值的范围（如自然数）。

• 运算：集合到集合映射（比如二元运算），定义在该集合上的运算（如加法、乘法）。

• 运算在集合上应该满足的性质：如封闭性、可逆性、结合律等。

定义（找到）集合，并在其上赋予运算及运算必须满足的性质，就形成了一个代数体系（Algebraic Structures），比如群、环、域、n 维向量空间。 不同的代数体系对运算及其性质的要求各不相同。

1. 群（Group） 定义：一个群 \( (G, \cdot) \) 是一个集合 \( G \) 与一个二元运算 \( \cdot \) 组成的代数结构（运算只是一种记号，可以是仍和的运算），满足以下公理：

• 闭合性（Closure）：对于所有 \( a, b \in G \)，\( a \cdot b \in G \)。
• 结合律（Associativity）：\( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)。
• 单位元（幺元，Identity）：存在一个元素 \( e \in G \)，使得对所有 \( a \in G \) 有 \( e \cdot a = a \cdot e = a \)。
• 逆元（Inverse）：对于每个 \( a \in G \)，存在 \( a^{-1} \in G \)，使得 \( a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e \)。

特殊情况：

• 具备前两个性质，则称为半群
• 具备前三个性质，则成为幺半群
• 若还满足交换律（Commutativity）：\( a \cdot b = b \cdot a \)，则称为阿贝尔群（Abelian Group）。

2. 环（Ring） 定义：一个环 \( (R, +, \cdot) \) 是一个集合 \( R \) 配备了两个运算 \( + \) 和 \( \cdot \)，满足：

• \( (R, +) \) 是阿贝尔群。
• \( (R, \cdot) \) 是一个半群。
• 分配律：\( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \) 且 \( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \)。

特殊情况：

• 若 \( (R, \cdot) \) 满足交换律，则称 \( R \) 为交换环（Commutative Ring）。
• 若 \( (R, \cdot) \) 是一个幺半群，则称为含幺环（Ring with Unity）。

3. 域（Field） 定义：一个域 \( (F, +, \cdot) \) 是一个特殊的环，它同时满足：

• \( (F \setminus {0}, \cdot) \) 是阿贝尔群。

例子：有理数域 \( \mathbb{Q} \)、实数域 \( \mathbb{R} \)、复数域 \( \mathbb{C} \)

4. 线性空间（Vector Space） 定义：一个线性空间 \( V \) 是在一个域 \( F \) 上的阿贝尔群，并配备一个数乘运算 \( \cdot: F \times V \to V \)，使得：

• 封闭性：\( \alpha v \in V \)（其中 \( \alpha \in F, v \in V \)）。
• 对标量的分配律：\( (\alpha + \beta)v = \alpha v + \beta v \)。
• 对向量的分配律：\( \alpha (v + w) = \alpha v + \alpha w \)。
• 数乘结合律：\( (\alpha \beta) v = \alpha (\beta v) \)。
• 单位元作用：\( 1 v = v \)（其中 \( 1 \) 是 \( F \) 的乘法单位元）。

例子：

• 向量空间 \( \mathbb{R}^n \) 是 \( \mathbb{R} \) 上的向量空间。
• 矩阵空间：所有 \( n \times m \) 矩阵构成一个线性空间。
• 多项式空间：所有次数不超过 \( n \) 的多项式构成一个线性空间。

从数学构建的层次关系来看，群是最基本的代数体系，域是相对高级的代数体系， 但是从实际的数学认知来看，我们是现在自然数集合开始认识数以及运算，再到整数集合， 再到遇到第一个对运算封闭的集合，有理数域，直到实数域。最后在解方程（多元一次方程组，一元高次方程）的过程中，为了回答解的存在和结构问题，定义了代数体系，反过来又用代数体系重新审视了基础代数的基本定义。

代数体系的构建远不止用于解方程。例如，可以通过群论研究对称性，用环论分析非对称加密问题等。

近现代代数的核心问题在于研究代数体系的内部结构及其同态映射，揭示不同代数结构之间的联系。

因此，汲取现代代数的思想来审视实际工作中的问题，往往能提供一种独特的视角，帮助我们更深刻地理解问题的本质。