测度

测度是长度、体积等概念的推广，是回答复杂集合的大小的工具，长度可以理解为某个线段中所有点的组成集合的大小，点本来没有长度，但是无限个点，组成的线段，就有了长度，那么怎么样的无限个点组成的集合才应该有长度呢？长度又是多少呢？（比如所有有理数点组成的集合，所有自然数组成的集合有长度吗？）

测度是自变量为集合，值域为非负的函数。要研究测度，首先要搞清楚集合，也就是搞清楚自变量。

集合和基本运算

集合（Set）是确定的、无序的、互不相同的对象组成的整体。通常记作大写字母表示集合，小写字母表示元素。例如，集合 \(A = \{1,2,3\}\)。

如果元素 \(a\) 属于集合 \(A\)，我们写作： \[ a \in A \] 如果元素 \(a\) 不属于集合 \(A\)，我们写作： \[ a \notin A \]

集合 \(A\) 与集合 \(B\) 的并集，记作： \[ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\} \]

集合 \(A\) 与集合 \(B\) 的交集，记作： \[ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\} \]

集合 \(A\) 与集合 \(B\) 的差集（或补集），记作： \[ A - B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\} \]

集合 \(A\) 和 \(B\) 的对称差，记作： \[ A \Delta B = (A - B) \cup (B - A) \]

集合序列和极限

\( A = \{ A_n, n=1,2,3 ... \} \) 是一个集合序列（集合的集合）。

定义:

• \( \inf A = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \) 为 集合序列 \( A \) 的下界（所有元素的交集，肯定是最小的集合）。
• \( \sup A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \) 为 集合序列 \( A \) 的上界（所有元素的并集，肯定是最大的集合）。

如果 \( A = \{ A_n, n=1,2,3 ... \} \) 中 的集合都满足, \( A_n \subseteq A_{n+1} \)，则称该集合序列具有非降属性。可以记作 \( A \uparrow \)。其极限：

\[ \lim_{n \to \infty} A_n = sup A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \]

为什么要这么定义？ 随着 \( n \) 的增加，\( A_n \) 越来越大，最大的不就是最后一个集合吗？ 这样考虑在有效的集合序列中是没有问题的，但是对于无限集合序列不适用，比如 \( A = \{ [1/n, 1], n=1,2,3 ... \} \) ，该集合序列没有最后一个元素，需要用极限的语言来表达他的上界。

同理，如果 \( A = \{ A_n, n=1,2,3 ... \} \) 中 的集合都满足, \( A_n \supseteq A_{n+1} \)，则称该集合序列具有非升属性。可以记作 \( A \downarrow \)。其极限：

\[ \lim_{n \to \infty} A_n = inf A = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \]

也就是在无限远处，存在该集合序列的最小元素集合。

那么对于任何（也就是没有单调的属性）集合序列 \( A = \{ A_n, n=1,2,3 ... \} \)，可以构造一个非升 和一个 非降的集合序列 \[ A^{d} = \{ A_n^{d}=\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k, n=1,2,3 ... \} \]

\[ A^{u} = \{ A_n^{u}=\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k, n=1,2,3 ... \} \]

序列 \( A \) 的上极限定义为 \[ \lim_{n \to \infty} \sup As_n = \lim_{n \to \infty} A_n^{d} = \inf A^{d} = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^{d} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty}A_k \]

其中 \( As_n = \{A_k, k=n,n+1,...\} \)

序列 \( A \) 的下极限定义为 \[ \lim_{n \to \infty} \inf As_n = \lim_{n \to \infty} A_n^{u} = \sup A^{u} = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^{u} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty}A_k \]

• 上极限表示，当 \( n \) 足够大时，经常会出现的元素。
• 下极限表示，当 \( n \) 足够大时，总是会出现的元素

因此，上极限总是比下极限的集合大：

\[ \lim_{n \to \infty} \inf As_n \subseteq \lim_{n \to \infty} \sup As_n \]

当集合序列的上极限和下极限都存在，且相当时，集合序列的极限存在。

集合系

设 \(X\) 为一个集合，\( \mathcal{F} \) 为 \(X\) 的子集的一个集合族，则 \( \mathcal{F} \) 称为 \(X\) 上的一个集合系。

集合系 是一种特殊的 集合序列，其元素集合均是某个集合 \(X\) 的子集。

• \(\pi\) 系：对交运算封闭的非空集合系
• 单调系：单调序列极限封闭的集合系
• \(\lambda\) 系：差运算封闭的 单调系
• 半环：差集可分解成有限并 的 \(\pi\) 系
• 环：并、差运算 封闭的集合系
• 域：对 \(X\) 的差 封闭的 \(\pi\) 系
• \(\sigma\) 域：对可数并封闭的 域

基础的集合系可以生成复杂的集合系，比如 \(R\) 上的素有开集组成的集合系，可以生成一个 \(\sigma\) 域，也被称为 Borel 集合系记作：

\[ B(R) = \sigma(\{ (a,b)| a<b, a,b \in R \} ) \]

\(\sigma\) 域 可以作为测度函数的定义域（保障可数的并/交运算闭合），和\(X\)放在一起，被称作可测空间。

可测函数（可测映射）

设 \((X, \mathcal{F})\) 和 \((Y, \mathcal{G})\) 是可测空间,函数\( f : X \to Y \)称为可测函数（随机变量），如果对于任意 \(B \in \mathcal{G}\)， \[f^{-1}(B) := \{x \in X : f(x) \in B\} \in \mathcal{F}\]

通常 \(Y = \mathbb{R}\)，\(\mathcal{G}\) 是 Borel \(\sigma\)-代数。

可测函数保证了测度上的结构在函数映射下是可追踪的，即函数的逆像保持在原来的测度空间的可测集合中，从而能定义积分、概率等。