分析
广延量与强度量：数学与物理世界的桥梁
广延量与强度量
在物理学和数学的世界里，我们常将量分为两类：
- 广延量（测度）：体积、时间、质量、能量、电荷、熵 等等。
- 强度量（可测函数）：密度、浓度、速度、温度、压强、效率 等等。
守恒定律都是建立在广延量上的，广延量才是更基本的量。强度量则往往是我们在研究广延量变化时引入的中间变量或工具。
为了方便广延量之间的转换（例如通过时间得到距离，通过体积得到质量）以及进行维度的提升（例如从长度求面积，从面积求体积），我们创造了复杂的数学工具体系。
数学抽象与现实世界
现实物理世界中，人能够感知到的物理实体都是具有三维体积的。我们用解析几何的方法，通过建立笛卡尔坐标系，试图准确描述对象的位置信息。
然而，点、线、面这些在笛卡尔坐标系中抽象出来的数学概念，在现实世界中是不存在的。但“点”这一概念是多么迷人，多么纯粹而干净。
为了获得“点”这种抽象，我们必须对空间进行无限分割。但我们真的理解“无限分割”吗？在这个过程中，我们一步一步定义出了实数域这样一个抽象而复杂的数学结构。
实数域中的每一个无理数，其实都包含了无穷多的信息。曾有科幻小说提出一个设想：将现有所有信息用数字编码成一个\(0.abcsdfsf\ldots\)这种形式的小于1的无理数，然后以这个无理数的长度切割一根单位长度的木棍，就能记录所有信息。只要能够准确测量这根短棍的长度，我们便可以获得所有信息。当然，现实世界中的测量必然受到物理极限的制约，这使得这种以一个无理数编码所有信息的设想只存在于理论与科幻之中（我们永远没办法精确的到，无理数其实在实际应用中没有太多意义）。
常人很难想象实数域的结构是什么。一个无理数我们都无法完全表象出来，更难以想象任意两个数之间永远存在无穷多个数的感觉。这本来就是“在现象上不存在”的概念。
函数、导数和积分
在实数域的基础上，为了描述量之间的关系，我们引入了映射（函数）的概念。
函数的定义是建立在“点”的基础上的。但点上有什么？点上没有体积，没有质量。但是，我们可以在点上定义强度量——如密度、速度。
强度量本身无法直接观测，只能通过广延量之比得到：
\[ \text{密度} = \frac{\text{质量}}{\text{体积}} \]
要得到“点上的量”，我们就必须通过极限与导数，将广延量（测度）转化为强度量（可测函数）。
而导数的逆过程就是积分，通过积分可以完成从一个测度到另一个测度的转换，即：从点上的属性（如密度）反推到具有空间尺寸的量（如质量）
点之所以能在积分中发挥作用，正是因为我们赋予了它强度量的属性，从而通过积分的方式重新获得广延量。
为了保证整个过程的严谨性，我们发展出了\(\varepsilon\)-语言，并引入连续、可导、可测、可积等概念。借助积分与导数，我们得以在不同维度和测度之间来回跳跃。
相关数学关系
- \(\text{广延量} \times \text{广延量} = \text{广延量}\)（维度提升）
- \(\text{广延量} \div \text{广延量} = \text{强度量}\)
- \(\text{广延量} \times \text{强度量} = \text{广延量}\)
- \(\text{强度量} \times \text{强度量} = \text{强度量}\)
当然，在数学意义上，强度量与广延量的界限，并非绝对，而是建立在所选测度体系之上的相对关系（高阶导数，比如加速度和速度）。
强度量是手段，广延量是目的
通常来说，强度量只是我们的手段，广延量才是我们的目的。例如我们提升速度与效率，都是为了节约更重要的广延量：
- 节约时间（生命的长度）
- 节约能量（资源的总量）
- 节约质量（材料的用量）
我们所追求的效率提升，归根结底是为了优化广延量的消耗。因此，强度量不过是通往广延量的桥梁。
强度量不过是数学世界架起通向广延量的桥梁，而广延量则是我们在现实世界中真正能够触碰到的存在。