概率

研究客观世界中的不确定现象（随机现象）。

如何研究？

对于某个不确定现象，我们可以通过建模选定一个样本空间 \(\Omega\)，并在其上构造一个 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{F}\)，从而形成可定义事件的结构。进一步引入一个概率测度 \(\mathbb{P}\)，使得三元组\((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) 成为一个概率空间。 在此基础上，我们可以定义从 \(\Omega\) 到其他测度空间（例如实数集 \(\mathbb{R}\) 及其 Borel \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\)）的可测函数，称为随机变量（同一个概率空间可以定义多个不一样的随机变量）。即 \[ X : \Omega \to \mathcal{B} \] 满足对任意 Borel 集合 \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\)，有 \[ X^{-1}(B) = {\omega \in \Omega : X(\omega) \in B} \in \mathcal{F}. \]

每个随机变量在概率测度 \(\mathbb{P}\) 下诱导出一个概率分布函数： \[ F_X(x) = \mathbb{P}(X \leq x), \quad x \in \mathbb{R}. \]

该分布函数由随机变量 \(X\) 和概率测度 \(\mathbb{P}\) 联合唯一确定。

有了随机变量的概率分布函数后，我们可以计算其各种统计特性，以及一些收敛性质，例如：

• 期望（数学期望）： \[ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x , dF_X(x) \]

若 \(X\) 有概率密度函数 \(f_X(x)\)，则写成 \[ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) , dx \]

• 方差： \[ \mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mathbb{E}[X])^2 , dF_X(x) \]